Schwarzschild-Radius

Die kritische Grenzgrösse

r_{s}

, der Schwarzschild- Radius, wird berechnet nach:

rs = 2 x G x Mc2

wobei

G

die Gravitationskonstante (

G

= 6,67259 x 10^-11[m³kg^-1s^-2]),

M

die Masse des Sterns und

c

die Lichtgeschwindigkeit ist.
Wie kommt man ausgerechnet auf diese Formel?
Wenn ein Teilchen ein Gravitationsfeld verlassen will, muss seine kinetische Energie grösser als die potentielle Energie sein. Um nun die Entweichgeschwindigkeit aus einem Gravitationsfeld zu berechnen, das zum Beispiel von einem Planeten mit der Masse

M

und dem Radius

r

ausgeht, kann man die potentielle Energie

GM / r

der kinetischen Energie

v^{2} / 2

eines Teilchens mit einer angenommenen Masse von 1 gleichsetzen. Wenn die kinetische Energie des Teilchens grösser ist, kann es entweichen. Löst man die Gleichung auf, erhält man als Entweichgeschwindigkeit

v = {(2 GM / r)}^{1 / 2}

.
Bei einem Schwarzen Loch ist die Entweichgeschwindigkeit am Ereignishorizont gleich der Lichtgeschwindigkeit, also können wir

v = c

setzen.
Das Ganze sieht dann so aus:

c^{2} / 2 = GM / r

c^{2} = 2 GM / r

r c^{2} = 2 GM

r

= 2GM/c2

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Schwarzschild-Radius berechnen